Temas para la escuela secundaria

Fracciones decimales y enteras

Enunciado:
"Simplificar la fracción y calcular su valor decimal, comprobando las equivalencias:"
3976056ž3408048

Tras advertir de los valores decimales engañosos que pueden producirse al calcular un cociente de enteros con calculadora (motivados por el redondeo y el número de decimales de aproximación), se describen los diferentes tipos de expresiones decimales y las reglas de conversión a fracciones enteras.

Es importante tener en cuenta la advertencia y las reglas de conversión, ya que serán decisivas al calcular las soluciones (necesariamente exactas) de ecuaciones y sistemas de ecuaciones y comprobar su validez.

Tratamiento elemental de polinomios en una variable (Con recurso a matrices)

Enunciado:
"Estudiar el siguiente polinomio (enumerar sus elementos significativos y características), y escribirlo ordenado en forma decreciente:"
p(x)=-2x5+x+2x5+2x4+3x2+7-x2

Se prepara una matriz, siendo suficientes:
- 2 filas: la 1ª para las potencias de la variable, y la 2ª para los coeficientes del polinomio.
- Tantas columnas como sea el grado mayor más 2 (7, en este caso): grado del polinomio más 1 (potencias de la variable), y una primera columna auxiliar.
No importaría confundirse en el número de columnas, ya que podrían insertarse después las necesarias.

Con el polinomio copiado en la celda inicial de la matriz, la fase de distribución de coeficientes en las celdas puede trabajarse sin necesidad de abandonar la presentación bidimensional.

Efectuadas las simplificaciones necesarias, es inmediato declarar los valores más característicos del polinomio y clasificarlo.

Suma algebraica de polinomios

Enunciado:
"Calcular la suma algebraica: p(x)+q(x)-r(x), siendo:
p(x)=3x5-2x3+5x2+8x-4
q(x)=4x4-5x3-8x2+x
r(x)=x5+x4-5x3+x2+5

Recurriendo al empleo de una matriz, la  operación se reduce a sumas elementales de coeficientes en columna, en el formato bidimensional (con F10).

Se construye la matriz de los coeficientes, común para los tres polinomios, de dimensiones:
- 5 filas: la "fila cabecera" de potencias de la variable, los tres sumandos y la fila para el resultado.
- 7 columnas: ya que el grado mayor de los polinomios parece ser 5, más una primera columna auxiliar, para ir colocando cada polinomio-dato en la celda 1-1.

Al escribir los coeficientes del polinomio sustraendo r(x) se cambian de signo.

Poco o nada importa que los polinomios-dato estén o no ordenados o simplificados.

Multiplicación de polinomios en una variable

Enunciado:
"Multiplicar los polinomios:"
p(x)=x2-x+3
q(x)=5x3-6x2+7

Recurriendo al empleo de una matriz, en el formato bidimensional (con F10) la operación se reduce a cálculos aritméticos de productos parciales de coeficientes y sumas elementales en columna.

Se construye una matriz inicial para los coeficientes del polinomio primer factor, de tres filas y número de columnas igual a la suma de los grados de los polinomios factor más 2.
Esta matriz se irá ampliando, insertando filas para cada monomio término del segundo polinomio, en la que se escrib irán los productos parciales de su coeficiente por los del polinomio primer factor, situados en la fila inmediata superior. Estos productos se desplazarán después para hacerles corresponder con los grados correspondientes de la variable.
Los coeficientes del polinomio producto se obtienen mediante sumas en columna.
Se contemplan criterios elementales de comprobación parcial del resultado obtenido.

Poco o nada importa que los polinomios-dato estén o no ordenados o simplificados.
El procedimiento es válido para polinomios de cualquier grado.

División de polinomios en una variable

Enunciado:
"Realizar la división:"
10x^5-17x^4+21x^3-4x^2-4x+10:2x^2-x+3

El recurso a una matriz permite garantizar una presentación en columnas de términos de igual grado, por lo que puede prescindirse de las potencias de la variable, que quedan reducidas a simples cabeceras de columna. Los cálculos se reducen a operaciones aritméticass con los coeficientes.
Salvo este convenio y la presentación en columna de los monomios del cociente, el aspecto final del algoritmo es en todo semejante al habitual simplificado realizado a mano.
El ejemplo contempla el caso de cociente incompleto.

Se aplican criterios elementales de comprobación parcial del resultado obtenido.

División de polinomios en una variable con divisor del tipo x-a
(método de Ruffini)

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División de polinomios en una variable con divisor del tipo x-a (método de Ruffini)

Enunciado:
"Realizar la división:"
10x^5-17x^4+21x^3-4x^2-4x+10:x-3

Para asegurar la correspondencia vertical y una presentación gráfica adecuada se recurre a una matriz. Lo que permitiría, a su vez, llevar a cabo la operación con la sola ayuda de la síntesis de voz.
La disposición de términos y los cálculos realizados son en todo análogos a los habituales efectuados manualmente.

Cambio de base de sistema de numeración

Enunciado:
"Un número se escribe 1001110 en base 2. ¿Cómo se escribiría en base 8?"

De ordinario, este tipo de problemas se resuelven en dos fases.
1º) Se pasa a base 10 el número dado en base 2
2º) El resultado obtenido (expresión en base decimal) se pasa a base 8.

Como técnica más segura para calcular la expresión decimal, se propone intercalar en el número dado la expresión *2^n+ con CTRL+V, sustituyendo  después cada "n" por el exponente de 2 correspondiente al orden de unidades.

La calculadora en línea de edición agiliza los cálculos con seguridad completa.

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Ecuaciones lineales en una incógnita (I) (sin paréntesis ni denominadores)

Enunciado:
"Resolver la ecuaci´ón:"
3x+4-x-17-5x=25-x-18+5x

Formas prácticas en Lambda, rápidas y seguras, de transformar una ecuación lineal para obtener la solución.

Se presta especial atención a la comprobación de la solución, teniendo en cuenta las características de una calculadora como la incorporada en Lambda. (Es de advertir que en el ejemplo la solución es -20/7, y el cálculo para cada miembro de la ecuación una fracción también periódica, con período de 6 cifras.)

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Ecuaciones lineales en una incógnita (II) (con paréntesis, sin denominadores)

Enunciado:
"Resolver la ecuación:"
3(x-5)-2(3x+5)-7=5(x-10)-2x

Para un primer diagnóstico de la complejidad de una ecuación, se sugiere la "Exploración previa", sirviéndose de "Comprimir estructura" o "Descomprimir estructura", profundizando con PÁGINA ADELANTE y PÁGINA ATR´ÁS en la visualización de las estructuras y, en concreto, de la presencia de paréntesis, corchetes o llaves.

Se propone una nueva técnica para distribuir los términos de la ecuación, una vez resueltos los delimitadores: mediante "Cortar" y "Pegar", en la misma línea. Para facilitar desplazamientos del cursor, se sugiere localizar el signo = con "Buscar" y "Buscar siguiente".

Ecuaciones lineales en una incógnita (III) (con denominadores numéricos)

Enunciado:
"Resolver la ecuación:"
(x+1)/5+(2x-3)/6=x/3+(6x)/4-9ž4
Iniciando la tarea por lo que debiera ser práctica habitual de "Explorar la expresión con MAYÚSCULAS+F8, se detectan denominadores. Por lo que la primera transformación debe tener como objetivo suprimirlos.

Para ello, se calcula el "mínimo común denominador". Los denominadores se localizan empleando un script específico de serie. Por la sencillez del caso, se calcula mediante cálculo mental, no siendo preciso acudir a la descomposición en factores primos.

Las transformaciones y operaciones a realizar no implican aplicar técnicas específicas nuevas.

Inecuaciones lineales

Enunciado:
"Hallar para qué valores de x se cumple:"
2(x-4)/(x+1)>=-7/3

El ejercicio no tiene complicaciones conceptuales ni técnicas. Se aprovecha para poner en evidencia algunos recursos representativos peculiares: símbolo de infinito, intervalos semiabiertos, coma de separación...

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Inecuaciones de 2º grado y estudio de parábolas

Enunciado:
"Hallar para qué valores de x se cumple:"
y>0
"en la parábola:"
y=2x2-4x-6
"Describir otros elementos de esta parábola."

Sin complicaciones conceptuales ni técnicas, ni dificultades de expresión. Se aprovecha el ejercicio para mostrar algunos símbolos y peculiaridades de representación en Lambda.

Se contemplan numerosos aspectos a estudiar en las funciones reales de variable real. Aunque limitados al tratarse de una parábola, (función polinómica de 2º grado).

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales (I) Método de igualación

Enunciado:
"Resolver el sistema siguiente por el método de "igualación":"
{5y+3x+6=0; 2x-4y=7}

Al presentar sistemas de ecuaciones en Lambda es preferible escribir cada ecuación en una línea.

El "método de igualación" consiste en despejar una misma variable en ambas ecuaciones, igualando después los segundos miembros entre sí y resolver la ecuación resultante, con una sola incógnita.

Con este valor sustituido en cualquiera de las ecuaciones, se podrá calcular la otra incógnita. Es de advertir la conveniencia de encerrar entre paréntesis la expresión algebraica a sustituir.

Se describe un método de comprobación de la solución, análogo al sugerido para ecuaciones, al que se remitirá desde los otros métodos de resolución de sistemas.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales (II) Método de sustitución

Enunciado:
"Resolver el sistema siguiente por el método de "sustitución":"
{5y+3x+6=0; 2x-4y=7}

Al presentar sistemas de ecuaciones en Lambda es preferible escribir cada ecuación en una línea.

El "método de sustitución" Consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones, sustituir esta expresión algebraica en la otra y resolverla.
Se llama la atención sobre la conveniencia de encerrar entre paréntesis la expresión algebraica a sustituir.

Sustituyendo el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones anteriores, se calcula la otra incógnita.

Como método de comprobación de validez de la solución obtenida se remite al propuesto para resolución de sistemas por el "método de sustitución"

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales (III) Método de reducción

Enunciado:
Resolver el sistema siguiente por el método de reducción":"
{5y+3x+6=0; 2x-4y=7}

Al presentar sistemas de ecuaciones en Lambda es preferible escribir cada ecuación en una línea.

El "método de reducción" consiste en eliminar (reducir) una de las variables, sumando ambas ecuaciones tras multiplicarlas/dividirlas por las constantes convenientes.

La clave del método se encuentra en determinar los números-factor más sencillos; si es posible, enteros y que sólo sea necesario multiplicar una de las ecuaciones.

Tanto para facilitar esta determinación de los factores como la suma posterior de las ecuaciones transformadas, es muy útil ordenar los términos de las ecuaciones-dato, de forma que se correspondan la disposición de las variables y del término independiente:
{3x+5y+6=0;
2x-4y-7=0}
(Precisamente el aspecto de las ecuaciones-dato suele ser decisivo para elegir el método de resolución.)

Como método de comprobación de validez de la solución obtenida se remite al propuesto para resolución de sistemas por el "método de igualación".

Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas

Enunciado:
Resolver el sistema:"
{42x-28y+56z=-191 [1ª]
42x-126y-84z=313 [2ª]
210x+126y-168z=989 [3ª]}

El ejemplo apenas si tiene importancia en lo referente a su contenido conceptual. Incluso los datos podrían calificarse de innecesariamente exagerados. Pero contribuyen a poner de manifiesto la preeminencia del método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante la "reducción de coeficientes", como paso previo al empleo de determinantes.
La tarea resulta sencilla y segura gracias a la facilidad de edición en Lambda (seleccionar, cortar y pegar expresiones) y el recurso a la "Calculadora en cuadro de edición".

Para la comprobación de la propuesta de solución (nada trivial en los cálculos a realizar) se acude una vez más a una "hoja borrador" y la función "Reemplazar". La calculadora en "cuadro de edición" convierte la tarea en una rutina sin mayor importancia.

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