Esempi e soluzioni di problemi-tipo per la scuola secondaria

Frazioni e numeri decimali

Enunciato:
"Semplificare la frazione 3976056/3408048 e calcolarne il valore decimale, verificando le equivalenze" 
Dopo aver osservato i valori decimali ingannevoli che si possono produrre al calcolare un quoziente di interi con calcolatrice (arrotondamento e numero di decimali approssimati), si descrivono i differenti tipi di numeri  decimali e le regole di conversione a frazioni.

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Studio delle caratteristiche di polinomi in una variabile - uso di matrici

Enunciato:
"Studiare il seguente polinomio (evidenziarne le caratteristiche), e ordinarlo in forma decrescente."
p(x)=-2x^5+x+2x^5+2x^4+3x^2+7-x^2
Utilizzo di una matrice con:
2 righe: la prima per le potenze della variabile, e la seconda per i coefficienti del polinomio, 
più colonne se il grado è maggiore di 2 (7 in questo caso): grado del polinomio più 1 (potenze della variabile), e una prima colonna ausiliaria. 
Effettuando le semplificazioni necessarie si evidenziano le caratteristiche del polinomio e la sua classificazione.

Somma algebrica di polinomi

Enunciato:
Calcolare la somma algebrica di  p(x)+q(x)-r(x), essendo:
p(x)=3x^5-2x^3+5x^2+8x-4
q(x)=4x^4-5x^3-8x^2+x
r(x)=x^5+x^4-5x^3+x^2+5
Ricorrendo all'uso di una matrice, l'operazione si riduce a somme elementari di coefficienti in colonna, nel formato bidimensionale (con F10)
Si crea una matrice dei coefficienti, comune ai tre polinomi, di dimensioni:
- 5 righe: La riga di testa delle potenze della variabile, i tre addendi e la riga per il risultato.
- 7 colonne: poiché il grado maggiore dei polinomi è 5, più una prima colonna ausiliare.
Nello scrivere i coefficienti del polinomio sottraendo r(x) si cambiano di segno.

Moltiplicazione di polinomi in una variabile

Enunciato:
"Moltiplicare i polinomi:" p(x)=x^2-x+3 q(x)=5x^3-6x^2+7
Usando una matrice, nel formato bidimensionale (con F10), l'operazione diventa  calcolo artimetico di prodotti parziali di coefficienti e  somma elementare in colonna.
Il procedimento è valido per i polinomi di qualsiasi grado.

Divisione di polinomi in una variabile

Enunciato:
"Realizzare la divisione:  (10x^5-17x^4+21x^3-4x^2-4x+10):(2x^2-x+3)
Il ricorso ad una matrice permette di garantire una presentazione in colonne dei termini di uguale grado, eliminando le potenze della variabile, che si riducono a semplici inyestazioni di colonna. I calcoli si riducono ad operazioni artimetiche con i coefficienti.
Si applicano criteri elementari di verifica parziale del risultato ottenuto.

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Divisione di polinomi con divisore del tipo (x-a) - metodo di Ruffini

Enunciato:
"Eseguire la divisione." (10x^5-17x^4+21x^3-4x^2-4x+10):(x-3) 
Per assicurare la corrispondenza verticale e la presentazione grafica adeguata si ricorre ad una matrice. Ciò permetterebbe effettuare l'operazione con il solo aiuto della sintesi vocale. La disposizione dei termini ed i calcoli realizzati sono del tutto analoghi a quelli effettuati a mano.

Cambiamento di base del sistema di numerazione

Enunciato:
"Un numero si scrive 1001110 nel sistema in base 2. Come si scriverà nel sistema in base 8?
In genere questo tipo di problemi si risolvono in due fasi.
1) Si passa al sistema in base 10 il numero dato in base 2
2) Il risultato ottenuto (espressione su base decimale), si passa in base 8.
Si propone di intercalare nel numero dato l'espressione *2^n+, sostituendo poi ogni "n" con l'esponente di 2 corrispondente all'ordine delle unità.
La calcolatrice in linea facilita i calcoli.

Equazioni lineari in un'incognita (I) (senza parentesi e denominatori)

Enunciato:
"Risolvere l'equazione: 3x+4-x-17-5x=25-x-18+5x" 
Ecco un metodo pratico in Lambda, rapido e sicuro, per risolvere una semplice equazione lineare.
Nella verifica della soluzione occorre tener conto delle caratteristiche della calcolatrice incorporata in Lambda.

Equazioni lineari in un'incognita (II) (con parentesi, senza denominatori)

Enunciato:
"Risolvere l'equazione: 3(x-5)-2(3x+5)-7=5(x-10)-2x"
Per una prima analisi della complessità di un'equazione, si suggerisce la "Visualizzazione dell'espressione", servendosi di "Struttura espansa" o "Struttura compatta", evidenziando con PAGINA AVANTI e PAGINA INDIETRO la presenza di parentesi tonde, quadre o graffe.
Si propone una nuova tecnica per distribuire i termini dell'equazione: mediante "Taglia" e "Incolla", nella stessa riga. Per facilitare lo spostamento del cursore, si suggerisce di localizzare il segno = con "Trova" e "Trova successivo".

Equazioni lineari in un'incognita (III) (con denominatori numerici)

Enunciato:
"Risolvere l'equazione: (x+1)/5+(2x-3)/6=x/3+(6x)/4-9/4"
Si inizia il con "Visualizza espressione" con MAIUSC+F8, e si trovano i denominatori. La prima trasformazione è la loro eliminazione.
Quindi, si calcola "il minimo comune denominatore".
I denominatori si localizzano impiegando uno script specifico. Le trasformazioni ed operazioni che si andranno a svolgere non implicano l'uso di nuove tecniche . 

Disequazioni lineari

Enunciato:
"Trovare per quali valori di x: 2(x-4)/(x+1)>=-7/3" 
L'esercizio non presenta complicazioni concettuali o tecniche specifiche.
Si vuole mettere in evidenza l'uso di alcuni elementi rappresentativi particolari: simbolo di infinito, intervalli semiaperti, virgola di separazione...

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Disequazioni di secondo grado e studio della parabola

Enunciato:
"Trovare il valore di x per cui y>0 nella parabola: y=2x^2-4x-6. Descrivere altri elementi della parabola."
Non ci sono complicazioni concettuali e tecniche.
Si approfitta dell'esercizio per mostrare alcuni simboli e particolarità di rappresentazioni in Lambda. Si valutano numerosi aspetti dello studio di  funzioni reali, anche se si limitano ad una parabola (funzione polinomiale di 2º grado).

Sistemi lineari (I) - Metodo del confronto

"Risolvere il sistema seguente secondo il metodo del confronto: {5y+3x+6=0; 2x-4y=7}"
Il "Metodo del confronto" consiste nel ricavare una stessa variabile in entrambe le equazioni, eguagliando poi i secondi membri tra loro e risolvere l'equazione risultante, con una sola incognita. Con questo valore sostituito in una qualsiasi delle equazioni, si potrà calcolare l'altra incongnita.
Si fa notare la convenienza di chiudere tra parentesi l'espressione algebrica da sostituire.
Si descrive un metodo di verifica della soluzione, analogo a quello suggerito per le equazioni.

Sistemi lineari (II) - Metodo di sostituzione

"Risolvere il sistema seguente secondo il metodo di sostituzione: {5y+3x+6=0; 2x-4y=7}"
Il "metodo di sostituzione" consiste nell'isolare una variabile in una delle equazioni, sostituendo questa espressione algebrica nell'altra e risolverla.
Si richiama l'attenzione sulla convenienza di chiudere tra parentesi l'espressione algebrica da sostituire.
Sostituire il valore ottenuto ovunque necessario nella equazioni precedente, quindi si calcola l'altra incognita.
Come metodo di verifica della soluzione ottenuta si rimanda alla lezione per la risoluzione dei sistemi del "metodo del confronto."

Sistemi lineari (III) - Metodo di riduzione

"Risolvere il sistema seguente secondo il metodo di riduzione: {5y+3x+6=0; 2x-4y=7}"
"Il metodo di riduzione" consiste nell'eliminare (ridurre) una delle variabili, sommando entrambe le equazioni dopo averle moltiplicate o divise per delle costanti opportune.
La chiave del metodo è il determinare i numeri più semplici ,se  possibile interi, da moltiplicare in una (o entrambe) delle equazioni.
Per determinarli facilmente è molto utile ordinare i termini delle equazioni (in pratica l'aspetto delle equazioni è decisivo per scegliere il metodo di risoluzione).
Per la verifica della soluzione si richiama al "Metodo del confronto"

Sistemi di equazioni lineari in tre incognite

"Risolvere il sistema: {42x-28y+56z=-191 ; 42x-126y-84z=313 ; 210x+126y-168z=989} "
L'esempio è importante per il contenuto concettuale. I dati non sono sempre così esagerati ma, in questo esempio, contribuiscono a mettere in rilievo l'utilità del metodo di risoluzione la "riduzione dei coefficienti".
Il compito risulta facile e sicuro grazie alle modalità di scrittura e modifica su Lambda (selezione, taglia ed incolla espressioni) ed il ricorso alla calcolatrice .
Per la verifica delle soluzioni  si fa riferimento ad un "brutta copia" e alla funzione "sostituisci".